No estoy seguro de si esta es una pregunta relacionada con la gramática o una pregunta relacionada con la geografía, así que responderé por ambas:
Las letras mayúsculas se utilizan para nombres propios. Los nombres propios son nombres de personas, lugares y títulos de textos. Como los países son lugares (es decir, Sudán, India, Fiji), usamos una letra mayúscula cada vez que escribimos el nombre del país (independientemente de la posición de la palabra en una oración).
Las ciudades capitales suelen ser el centro administrativo de un país. A veces, las ciudades capitales son la ciudad más grande y prominente de cada país, es decir, Londres, Inglaterra y París, Francia. Otras veces, una ciudad se construye específicamente para ser la Capital (a veces por razones geográficas, otras veces porque el gobierno no puede elegir qué ciudad grande usar y elige construir una nueva), es decir: Washington DC en los Estados Unidos, Brasilla en Brasil y Canberra en Australia.
La ciudad capital usualmente será la base para el gobierno, que contiene el Parlamento, la residencia para el Jefe de Estado, los edificios administrativos para la Defensa, etc. También será donde se ubicarán los representantes de otras naciones (Embajadas) y donde se ubicará la mayor cantidad de los funcionarios públicos (trabajadores que administran los departamentos gubernamentales).
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Curiosamente, las ciudades capitales no suelen ser los centros financieros y culturales de sus respectivos países.