Escríbale dirigiéndose a él correctamente, no escriba mal su nombre, por ejemplo, y dígale que está muy interesado en su trabajo, por ejemplo, en los hábitos sociales de los aardvarks. Tal vez mencionar un artículo en particular o una revisión que ha publicado. No seas demasiado tonto, pero demuestra que sabes algo sobre lo que él hace.
No soy profesor, pero a veces recibo correos electrónicos no solicitados sobre posibles trabajos en la industria, y me dirijo como profesor. Esto suele ser eliminado sin respuesta.
Explique por qué le parece interesante y cómo su experiencia lo convertiría en un buen estudiante de doctorado en su departamento. Ser diligente, trabajador, imaginativo y capaz de centrarse en los detalles son probablemente cualidades deseables en un estudiante de doctorado. Querer pasar cada fin de semana navegando probablemente no lo sea, así que no mencione eso en la carta.
¡Buena suerte!