¿Es ofensivo ofrecerle un apretón de manos en un bar?

No es ofensivo, de verdad. Pero puede parecer un saludo formal o uno hecho entre personas que se han conocido.

Honestamente, el tipo que se negó a darle la mano parece grosero. Incluso si fue una diferencia de cultura lo que lo llevó a comportarse como lo hizo, podría haber sido educado al respecto.