No, trivialmente. Pero hay algunos sentidos interesantes en los que podría estar.
Vamos a tratar de agudizar la pregunta.
¿Es posible que algún sistema natural no pueda ser descrito por un sistema matemático o lógico axiomático?
Hay una respuesta trivial (y sin interés) a esto: no. Solo tomaré todos los datos sobre cómo se comporta este sistema dado y los estableceré como mis axiomas. Hecho.
- ¿Es el beso francés algo cultural que se inventó en un momento determinado o es un comportamiento humano instintivo natural?
- ¿Qué debo hacer si mi hermano no me enseña lo que sabe pero sí enseña a mi hermana?
- Los académicos masculinos inteligentes se casan con mujeres corrientes, mientras que las académicas inteligentes buscan parejas inteligentes. ¿Por qué?
- Cómo lidiar con mis parientes molestos
- ¿De verdad sonríes mientras le envías a alguien un emoticono de sonrisa?
Pero esto es un truco, que trivializa el concepto de describir un sistema físico. Podríamos querer prohibirlo. Aquí hay una forma de hacerlo. Además de describir el sistema físico, el sistema matemático debe tener menos complejidad que una simple lista de todos los fenómenos que presenta el sistema. (Este sentido de “complejidad” se debe completar de alguna manera bien definida, por ejemplo, la complejidad de Kolmogorov, la longitud del programa informático más corto que puede producirlo).
En este sentido, las leyes físicas pueden verse como una especie de algoritmo de compresión para descripciones de comportamiento físico. Este sentido (relacionado con lo que los filósofos llamarían la visión de Ramsey-Lewis de las leyes físicas) significa que solo puedo comenzar a llamar a mi teoría matemática de los fenómenos una descripción cuando comienza a simplificar los fenómenos físicos.
Ahora, ¿es posible que exista un sistema natural que no sea susceptible a tal tratamiento?
Primero, seamos claros en que los sistemas cuánticos son perfectamente descriptibles en este sentido. Acabamos de armar un espacio de Hilbert adecuado para el sistema, los estados del sistema están representados por rayos en este espacio de Hilbert y evolucionan de acuerdo con la ecuación de Schrodinger (o extensiones relativistas adecuadas si es necesario). Todo esto es perfectamente expresable en un sistema axiomático.
En segundo lugar, el teorema de Godel es sólo de trascendencia. Toma cualquier sistema axiomático dado y muestra que hay algunas afirmaciones que se pueden hacer dentro de tal sistema que son verdaderas pero no pueden probarse dentro de ese sistema. Eso está bien: siempre puedo construir otro sistema en el que las oraciones de Godel sean verdaderas (simplemente las puse como otro axioma, por ejemplo). Ahora, es cierto que en este nuevo sistema ampliado también hay oraciones que son verdaderas y que no se pueden demostrar, pero puedo hacer otro sistema … y así sucesivamente. Nadie dijo que tengo que usar los mismos axiomas lógicos para cada sistema natural.
Lo que supera la restricción anterior es la verdadera aleatoriedad. Eso es Kolmogorov incompresible. Por lo tanto, al menos es posible en principio tener un sistema cuyo comportamiento simplemente no se puede expresar en términos más simples que una simple lista de hechos sobre ese sistema. Y este es un sistema que en un sentido bastante preciso no tiene leyes físicas. (Por el momento, dejaremos de lado las dificultades para completar lo que es la “aleatoriedad verdadera”, dado que las distribuciones de probabilidad uniformes de extensión infinita están mal definidas).
Pero sospecho que la respuesta anterior no está llegando al espíritu original de la pregunta. Creo que el espíritu es preguntar algo como: ¿es posible que algunos sistemas físicos sean tan ajenos a nuestra lógica y matemáticas que no puedan acomodarlos en absoluto? No por los límites de la mente humana, ni por ninguna consideración de complejidad, por los límites de la estructura de la lógica y las matemáticas en sí mismas.
No estoy del todo seguro de que esta pregunta tenga sentido. Pero si lo hace, me gustaría señalar un esqueleto de razones para el optimismo. El universo siempre “sabe” qué hacer a continuación. Y somos parte de ese universo. Así que tenemos acceso a cualquier magia que esté ocurriendo, solo depende de nosotros hacer uso de ella.